On poursuit avec un nouvel exemple de correcteur : le correcteur PD Proportionnel-Dérivé. Celui-ci est toujours plus performant que les précédent et est inséré dans une boucle fermé.

Etude Théorique

Le schéma du correcteur PD commence à se compliquer un petit peu :

Recherchons la fonction de transfert de ce correcteur PD :
E(p) est d'abord multiplier par deux module 1 et Tdp additionnés, puis ensuite, multiplié par Kc. On a donc : soit : .
Reprenons un schéma globale du système avec un G(p) d'asservissement de vitesse d'ordre 1, soit

Comme d'habitude, on va chercher la fonction de transfert générale H(p) du système :
On ne refait pas tout, on sait qu'on a le résultat suivant :

On multiplie en haut et ne bas par 1+T.p :
On simplifie le dénominateur :
On met sous forme conventionnelle :

Voilà ! Il n'y a plus qu'à identifier les Kh, Th1 et Th2 de notre fonction :




Traçons maintenant les graphiques correspondant pour se rendre compte du fonctionnement du système. En avant première, j'ai décidé de vous dévoilez comment je ponds ces graphiques ! Il suffit d'utiliser le logiciel payant de mathématiques Matlab. Ce logiciel est très performant, très utilisé, mais très cher aussi... Il intègre un module qui porte le nom de "simulink" permettant de simuler des systèmes physique comme des systèmes électronique. Voici notre système Proportionnel-Dérivé sous simulink :

Vous devirez reconnaitre chacun de nos éléments, à quelques nuances prêts :

• la source n'est plus Yc(p) mais un vulgaire signal qui vaut toujours 1 au cours du temps à partir de t=0
• le "p" de "Tdp" est devenu un dérivateur, en effet, p est équivalent dans le temps à un dérivateur (d'oû le nom du correcteur par ailleurs), sinon ici Td=0,1.
• pour finir, le scope qui nous permet d'avoir nos signaux !

Voici les signaux obtenues pour Td=0.1, Kc=1 :

Qu'est ce que nous apporte ce correcteur ? A priori pas grand chose. Grosse erreur à l'infinie, lenteur ... Essayons de jouer sur les paramètres de notre correcteur, voici ce que l'on obtient pour Td=0,001 et Kc=20 :

Quelle performance ! Le système est beaucoup plus rapide, l'erreur à l'infinie faible, mais toujours pas nulle ... Il faudrait en fait un Kc infini pour ne pas avoir d'erreur à l'infinie, ce qui est évidemment toujours impossible.

Intéressons nous maintenant aux perturbations, petite piqure de rappel sur la façon de modéliser une perturbation :

Sous simulink, on la simule de la manière suivante :

Notre petit système va avoir le droit à un sérieux coup de frein de 1 à partir de 0.5s , et voici le résultat :

Que nenni ! Le vaillant correcteur encaisse plutôt bien le choc ...

Pas d'étude pratique pour ce correcteur étant donné que c'est approximativement là même chose que vu précédemment. Il est cependant aisé de trouver le schéma électronique sur internet d'un dérivateur. On verra dans un chapitre suivant comment faire un correcteur PID, qui est plus performant que le PD.

Ce qu'il va falloir retenir de ce chapitre, c'est que la composante "dérivée" d'un correcteur permet d'augmenter la rapidité du système. De plus, si on avait utilisé un système d'ordre 2 au lieu d'un système d'ordre 1 pour simuler notre moteur, on se serait rendu compte que la composante "dérivée" amène également beaucoup d'instabilités. Le système d'ordre 2 étant plus proche de la réalité que le système d'ordre 1.Rappel sur les notions d'ordre du système.

Vous savez également maintenant comment on peut simuler les systèmes à l'aide d'un ordinateur, mais pour ça il va falloir se procurer matlab et apprendre à s'en servir même si celui-ci n'est pas très compliqué.

Maintenant, place au correcteur proportionnel-intégrale, en y ajoutant une petite nouveauté, on va utiliser cette fois un système d'ordre 2 !