L'algèbre de boole, qu'est-ce que c'est ?
Inventé par un certain George Boole, cette algèbre permet de traduire des signaux en expressions mathématiques.
Par exemple, on peut représenter un interrupteur par une variable a qui prendra pour valeur 0 ou 1.
Ainsi, quand l'interrupteur est ouvert, a vaut 0 car le courant ne passe pas. Et quand l'interrupteur est fermé, a vaut 1 car le courant passe.
Ok, mais à quoi ça sert ??
Les mathématiques sont un outil. L'algèbre de Boole peut servir à décrire le fonctionnement d'un système et à le simplifier si possible.
Par exemple, vous devez faire avancer un robot, mais vous devez prendre en compte beaucoup de facteurs tels que sa position, la lumière ou encore le temps qui deviendront de simples variables. Pour simplifier au maximum, l'algèbre de boole se révèle très efficace.
Même si au début vous trouverez cela prise de tête, vous comprendrez très vite la logique qui en découle.
Enjoy!
Commençons par faire simple :
( Non ce n'est pas la tête à toto
et le + désigne la fonction ou(or) )
( Le point désigne la fonction 'and' ('et' en français))
En effet, si a vaut 1, alors 
Et si a vaut 0, alors 
( / Désigne la fonction 'not' ('non' en français)):
Si a=1, alors
. Or
Si a=0, alors
. Or
L'involution :
Prenons un exemple avec
:
, donc
, donc
La commutativité :
Si si, je vous assure lol ! On peut donc inverser sans y réfléchir.
De même,
Associativité :
Impressionant ! Non ? Bon tant pis.
La distributivité :
Il existe deux types de distributivités:
La distributivité du 'et' (comme la multiplication en mathématiques).
Par contre, contrairement aux habitudes (en mathématiques je parle), la distributivité du 'ou' existe aussi :
La priorité :
Comme en maths:
: "
" est prioritaire sur le "
" comme la multiplication est prioritaire sur l'addition.
Par exemple :
On effectue d'abord
.
Il nous reste donc
Donc
Tandis que
:
On effectue
Il nous reste donc :
D'où
.
Théorème de "De Morgan" :
Le complément (c'est-à-dire la fonction non) d'une somme logique est égal au produit logique des compléments :
a b a+b Y1=/(a+b) /a /b Y2=/(a)./(b)
0 0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 1 0 0
1 0 1 0 0 1 0
1 1 1 0 0 0 0
| a |
b |
a+b |
Y1=/(a+b) |
/a |
/b |
Y2=/(a)./(b) |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
D'après le tableau, on a :
Magnifique hein ?
On a aussi :
Le complément d'un produit logique est égal à la somme logique des compléments :
Petit exemple de simplification :
On factorise une partie par
et une autre par
Maintenant, on a
et
Ce qui donne :
On a
et
D'où
.
), contactez-nous !
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